Lily-fanggidae: September 2012

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat ditulis sebagai:

di mana A suatu matriks, x merupakan vektor, dan λ merupakan nilai eigen dari matriks A. Nilai eigen matriks A dapat dicari dengan

Misalkan diberikan A metriks 3x3 dan vektor x

maka (A-λ)x = 0 dapat ditulis

Untuk mencari nilai λ yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari (A-λ) dengan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor, diperoleh

polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan

bantuan Matlab, diperoleh -λ³+4λ²+4λ-16 = (λ+2)(-λ+2)(λ-4)

sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu λ = 2, λ = -2 dan λ = 4

Cara spesial untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3 ialah:

☺ 2x2 -> det(A) - λ.trace(A) + λ²

☺ 3x3 -> det(A) - λ.(M₁₁ + M₂₂ + M₃₃) + λ².trace(A) - λ³

Vektor Eigen

Vektor eigen(x) merupakan solusi dari matriks (A-λ) untuk setiap nilai λ yang ada di mana x ≠ 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya juga ada tiga. Misalkan untuk λ = 2

SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak dapat digunakan karena matriks di atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan a, b, dan c misalkan dalam c. Dengan metode Gauss, matriks segitiga atas yang diperoleh setelah melakukan operasi baris elementer (OBE) yaitu:

jika a, b, c kita nyatakan dalam c, diperoleh

-0,4b - 0,4c = 0

-10a + 21b - 9c = 0

dari kedua persamaan di atas diperoleh b = -c dan a = -3c. Jadi vektor eigen untuk λ = 2 ialah

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbf%7Bx%7D_1=%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20-3c%5C%5C%20-c%5C%5C%20c%20%5Cend%7Bpmatrix%7D=%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20-3%5C%5C%20-1%5C%5C%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D

untuk λ = -2, jika dicari diperoleh

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbf%7Bx%7D_2=%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dc%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dc%5C%5C%20c%20%5Cend%7Bpmatrix%7D=%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%5C%5C%202%5C%5C%204%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

dan untuk λ = 4

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbf%7Bx%7D_3=%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20c%5C%5C%20c%5C%5C%20c%20%5Cend%7Bpmatrix%7D=%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%5C%5C%201%5C%5C%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D

Lampiran:

1. script Matlab untuk mencari polinomial karakteristik dan nilai eigen

% Polinomial Karakteristik dan Nilai Eigen

clc;

clear all;

A=input('Mariks A = ');

clc;

disp('Matriks A =');

disp(A);

dA=det(A);

[ba,ka]=size(A);

syms L;

for j=1:ka

for i=1:ba

C=A-L*eye(ba);

end

disp(C);

disp('polinomial karakteristik matriks A=');

disp(det(C));

disp('nilai eigen matriks A=');

disp(eig(A));

TRANSFORMASI LINEAR

Misal V dan W merupakan ruang vektor, maka fungsi T yang memetakan setiap vektor di V (V disebut domain) ke vektor di W (W disebut kodomain), T: V ® W disebut transformasi linear bila berlaku dua syarat berikut:

dan

Kedua syarat tersebut diperlihatkan dengan gambar berikut. Gambar 9-1 menunjukkan syarat penjumlahan dan gambar 9-2 menunjukkan syarat perkalian dengan skalar.

Gambar 9.1

Gambar 9.2

VEKTOR PADA BIDANG DATAR

Vektor dan Notasinya

Suatu vektor ialah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Dengan demikian maka dua vektor yang mempunyai besar dan arah yang sama, maka dua vektor tersebut adalah sama, tanpa memandang di mana vektor tersebut berada.

Suatu vektor digambarkan dengan suatu anak panah di mana panjangnya anak panah menyatakan besarnya vektor dan arah anak panahmenunjukkan arah dari vektor.

1. Vektor pada Bidang Datar R² (Dimensi Dua)

Di dalam bidang datar (R²) suatu vektor yang titik pangkalnya di A (x₁, y₁) dan titik ujungnya di B (x₂, y₂) dapat dituliskan dalam bentuk komponen :

Vektor dalam bidang datar juga dapat dinyatakan dalam bentuk :

- Kombinasi linear vektor satuan i, j ,= xi + yj.

- Koordinat kartesius, yaitu : (a₁, a₂).

- Koordinat kutub,

A. Ruang Lingkup Vektor

1. Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor

dan

dikatakan sama apabila keduanya

mempunyai besar (panjang) dan arah yang sama.

Diperoleh:

2. Vektor Negatif

Vektor negatif dari

adalah vektor yang besarnya sama dengan

vektor

tetapi arahnya berlawanan dan ditulis -

Diperoleh:

= -

3. Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang besar / panjangnya nol dan arahnya tak tentu. Pada sistem koordinat kartesius vektor nol digambarkan berupa titik. Di ruang dimensi dua vektor nol dilambangkan dengan

4. Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada pusat koordinat O(0,0) dan titik ujungnya berada pada koordinat lain. Vektor posisi pada R² dari titik A(x,y) dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor satuan sebagai berikut :

Penulisan vektor

dan

menyatakan vektor satuan pada sistem koordinat. Vektor satuan

adalah vektor yang searah dengan sumbu X positif dan besarnya 1 satuan. Vektor satuan

adalah vektor yang searah dengan sumbu Y positif dan besarnya 1 satuan.

5. Modulus atau Besar Vektor atau Panjang vektor

6. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang (besar) 1 satuan. Vektor satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vektor tersebut dengan besar (panjang) vektr semula.

Vektor satuan dari vektor

dirumuskan:

B. Operasi Hitung Vektor di R²

1. Operasi Penjumlahan Vektor

Penjumlahan dua vektor dapat dikerjakan dalam dua cara yaitu cara grafis dan analitis.

a. Cara Grafis

b. Cara Analitis

1) Apabila kedua vektor diketahui mengapit sudut tertentu , maka dapat digunakan perhitungan dengan memakai rumus aturan cosinus seperti pada trigonometri.

2) Jika vektor disajikan dalam bentuk komponen (dalam bidang kartesius) maka penjumlahan dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponennya.

2. Pengurangan Vektor

Memperkurangkan vektor dari vektor didefinisikan sebagai menjumlahkan vektor negatif

Apabila vektor disajikan dalam bentuk komponen (dalam bidang kartesius) maka pengurangan dapat dilakukan dengan mengurangkan komponen-komponennya.

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika

suatu vektor dan m adalah skalar (bilangan nyata), maka m

atau

m adalah suatu vektor dengan kemungkinan :

a. Jika m > 0 maka m

adalah vektor yang besarnya m kali

dan searah dengan

b. Jika m < 0 maka m

adalah vektor yang besarnya m kali

dan arahnya berlawanan dengan

c. Jika m = 0 maka m

adalah nektor nol.

b. Vektor diberikan dalm bentuk kmponen

Apabila titik-titik dalam vektor dapat dinyatakan sebagai perkalian vektor yang lain, titik-titik itu disebut kolinier (segaris).

4. Perkalian Dua vektor

Operasi perkalian pada vektor dapat dikerjakan melalui dua cara sebagai berikut :

a. Sudut antara kedua vektor diketahui

Diberikan vektor

=(a₁, a₂),

=(b₁, b₂) dan sudut yang dibentuk oleh vektor

dan

adalah a. Perkalian antara vektor

dan

Contoh:

Tentukan hasil kali kedua vektor

dan

serta sudut antara kedua vektor adalah 60°!

Jawab:

Diketahui dua buah vektor sebagai berikut :

® a₁ = 6 dan a₂ = 1

| =

® b₁ = 3 dan b₂ = 6

| =

= ï

ï.ï

ï. Cos a

.Cos 60°

Jadi, hasil kali kedua vektor adalah

b. Sudut antara kedua vektor tidak diketahui

Diberikan vektor

=(a₁, a₂) dan

=(b₁, b₂). Hasil kali kedua vektor dirumuskan sebagai berikut :

b₁ = 3 dan b₂ = -2

. = a₁b₁ + a₂b₂

= 5.3 + 7(-2)

= 15 + (-14)

= 1

Sementara itu, dari dua buah vektor pada sistem koordinat kartesius dapat kita cari besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor

VEKTOR PADA BANGUN RUANG

2. Vektor pada Ruang (Dimensi 3)

Untuk menentukan kedudukan atau letak titik di dalam ruang (R³) dapat digunakan sistem sumbu koordinat siku-siku X, Y dan Z dengan masing-masing sumbu saling tegak lurus dan berpotongan di sebuah titik O yang disebut pusat sumbu koordinat.

= X_p + Y_p+ Z_p merupakan bentuk kombinasi linear dari , , . Dengan , _, merupakan vektor satuan dalam koordinat ruang ( = vektor satuan pada sumbu X, = vektor satuan pada sumbu Y dan = vektor satuan pada sumbu Z).

merupakan bentuk kmponen vektor.

A. Ruang Lingkup Vektor

1. Vektor Posisi

Vektor posisi titik P adalah vektor

yaitu vektor yang berpangkal di O(0,0,0) dan berujung di titik P(x,y,z). Secara aljabar vektor

dapat ditulis sebagai berikut :

atau

= (x,y,z)

Vektor

= (x,y,z) pada dimensi tiga dapat dinyatakan sebagaikombinasi linear dari vektor satuan , , sebagai berikut :

= x+ y+ z

Sebuah vektor

dengan koordinat titik pangkal A (x₁, y₁, z₁) dan koordinat titik ujung B (x₂, y₂, z₂) memiliki vektor posisi sebagai berikut :

2. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan. Vektor satuan dari vektor

didefinisikan vektor

dibagi dengan besar vektor

sendiri, yang dirumuskan dengan :

3. Modulus Vektor

Misalnya

= a₁+ a₂+ a₃_, panjang vektor

dinotasikan |

| dengan

| =

Jika diketahui vektor

dengan koordinat titik A (x₁, y₁, z₁) dan B (x₂, y₂, z₂) maka modulus/besar/panjang vektor

dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :

ï =

6. Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang besar / panjangnya nol satuan dan arahnya tak tentu (berupa titi).

Vektor nol pada dimensi 3 dilambangkan dengan

= (0,0,0) atau

B. Operasi Hitung Vektor di R³

1. Penjumlahan Vektor dalam Ruang

a. Jika dua vektor

dan vektor

adalah vektor-vektor tidak nol di R³ maka

operasi penjumlahannya didefinisikan sebagai berikut :

b. Jika vektor

= a₁+ a₂+ a₃ dan vektor

= b₁+ b₂+ b₃ maka operasi

penjumlahannya didefinisikan sebagai berikut :

= (a₁ + b₁)+ (a₂ + b₂)+ (a₃ + b₃)

Contoh:

Hitunglah jumlah dari dua buah vektor berikut !

dan

= 2+ - 4 dan

= 3+ 5+

Jawab:

= (2 + 3)+ (1 + 5)+ (-4 + 1) = 5+ 6- 3

2. Selisih Dua Vektor pada R³

a. Jika dua vektor

dan vektor

maka operasi pengurangan kedua vektor

didefinisikan sebagai berikut :

b. Jika vektor

= a₁+ a₂+ a₃ dan vektor

= b₁+ b₂+ b₃ maka operasi pengurangan kedua vektor didefinisikan sebagai berikut :

= (a₁ - b₁)+ (a₂ - b₂)+ (a₃ - b₃)

Contoh:

Hitunglah

jika :

dan

= 8+ 6+ 9 dan

= 3+ 5+ 2

Jawab:

= (8 - 3)+ (6 - 5)+ (9 - 2) = 5+ + 7

3. Perkalian Skalar dengan Vektor

a. Hasil kali vektor

dengan suatu skalar c didefinisikan sebagai berikut :

b. Hasil kali vektor

= a₁+ a₂+ a₃ dengan skalar c didefinisikan sebagai berikut:

= c.a₁+ c.a₂+ c.a₃

Contoh:

1. Diberikan vektor

, maka 3.

2. Diberikan vektor

= 2+ - 3, maka 4.

= 4.2+ 4.- 4.3 = 8+ 4-12

4. Perkalian Skalar Dari Dua Vektor / Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian skalar dari dua vektor

dan

didefinisikan dengan rumus :

= ï

ï.ï

ï. Cos a

Apabila a = 0° maka

= ï

ï.ï

Apabila a = 90° maka

= 0

Apabila a = 180° maka

= -ï

ï.ï

Apabila vektor dinyatakan dalam bentuk komponen :

dan

Diperoleh :

= a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Contoh:

1. Hitunglah perkalian skalar antara

= 2+ 3+ 5 dan

= 2+ + 3

Jawab:

= a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

= 2.2 + 3.1 + 5.3 = 4 + 3 + 15 = 22

2. Jika

dan

, hitunglah

Jawab:

= 1 . 2 + 3 . 1 + 5 . 6

= 2 + 3 + 30 = 35

3. Hitunglah

jika diketahui ï

ï = 3, ï

ï = 4 dan sudut antara

dan

adalah 60° !

Jawab:

= ï

ï.ï

ï. Cos 60°

= 3 . 4 .

= 6

5. Sudut Antara Dua Vektor

Dari definisi :

= ï

ï.ï

ï. Cos a

= a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Diperoleh :

Cos a =

Contoh:

Hitunglah besar sudut di antara

= + 2+ 2 dan

= 2+ 3- 6 !

Jawab:

Cos a =

Dari daftar diperoleh a = 180° - 79° = 101°

6. Perkalian Vektor Dari Dua Vektor / Perkalian Silang ( Cross Product)

Apabila vektor disajikan dalam bentuk

= a₁+ a₂+ a₃ dan

= b₁+ b₂+ b₃ maka:

Persamaan di atas dapat diselesaikan dengan aturan Sarrus atau Cramer

Contoh:

Diketahui vektor

= 2+ 3+ 2 dan vektor

= 3+ 2- 3_.

Tentukan

Jawab:

= i

- j

+ k

= (-9 – 4)i – (-6 – 6)j + (4 – 9)k

= -13i + 12j – 5k

Ø N-Vektor

Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a₁.a₂.....a_n). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.

Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.

Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a₁, a₂, a₃) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a₂, a₂, a₃ merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a₁, a₂, a₃ merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a₁, a₂, ...., a_n) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.

u₁ = v₁ u₂ = v₂ u_n = v_n

Penjumlahan u + v didefinisikan oleh

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, ...., u_n + v_n)

Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (k u₁, k u₂,...,k u_n)

Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor

0 = (0, 0,...., 0)

Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh

-u = (-u1, -u2, ...., -un)

Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

v – u = v + (-u)

atau, dalam istilah komponen,

v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)

Sifat-sifat dari vektor dalam