DETERMINAN

DETERMINAN

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad - bc

Sifat-Sifat Determinan

A.                               Determinan dengan Minor dan kofaktor

kofaktor dari a₁₁ adalah

c₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = (-1)¹⁺¹a₂₂a₃₃ x a₂₃a₃₂

kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C_ij=±M_ij untuk membedakan apakah kofaktor pada _ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

Begitu juga dengan minor dari a₃₂

Maka kofaktor dari a₃₂ adalah

c₃₂ = (-1)³⁺²M₃₂ = (-1)³⁺² x a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah

det(A) = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

B.                                Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

C.                                Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₂₁(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₃₁(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₂₃a₃₁ + a₃₁a₂₁a₃₂ - a₂₂(a₃₁)² - (a₂₁)²a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

1.      Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh

2.      Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

R=E_r...E₂ E₁ A

dan,

det(R)=det(E_r)...det(E₂)det(E₁)det(E_A)

Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

3.      Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A_3x3

A =

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = -12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -8

C₂₁ = -4 C₂₂ = 2 C₂₃ = -8

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 8

4.      Metode Sarrus

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C₁₁ = 12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

menjadi matrix kofaktor

5.     Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx

Dalam sistem aljabar linear sering ditemukan

     Ax = λx    ; dimana λ adalah skalar

sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi

     (λI - A) x = 0