Lily-fanggidae: TUGAS ALJABAR

PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x₁ = 0 , x₂ = 0 , ... , x_n = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear Dalam Bentuk Matriks

Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

Jadi nilai dari

,dan

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\2 & 3 & 2 & 3\\2 & 1 & 2 & 5\\\end{bmatrix}$

Operasikan Matriks tersebut

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\0 & -1 & -4 & -3\\2 & 1 & 2 & 5\\\end{bmatrix}$ Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & -4 & -3\\ 0 & -3 & -4 & -1\\ \end{bmatrix}$ Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\0 & -1 & -4 & -3\\0 & 0 & 8 & 8\\\end{bmatrix}$ Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\0 & 1 & 4 & 3\\0 & 0 & 1 & 1\\\end{bmatrix}$ Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 3\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\\end{bmatrix}$ Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\\end{bmatrix}$ Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\\end{bmatrix}$ Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari

,dan

B. MATRIKS

1. Operasi dalam matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :

a.) A + B = B + A

b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ c_ij ] berordo m x n dimana c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_ip b_pj

Ø Matriks Balikan (Invers)

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan $B = A^{-1}$ ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan $A = B^{-1}$ . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = $\begin{bmatrix}a & b \\c & d \\\end{bmatrix}$ dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

$A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\-c & a \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\-\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\\end{bmatrix}$

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

Contoh 1:

Matriks

A = $\begin{bmatrix}2 & -5 \\-1 & 3 \\\end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix}3 & 5 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}$

AB = $\begin{bmatrix}2 & -5 \\-1 & 3 \\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}3 & 5 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

BA = $\begin{bmatrix}3 & 5 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}2 & -5 \\-1 & 3 \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa $B = A^{-1}$ (B Merupakan invers dari A)

Ø Transpose Matriks

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Contoh:

Matriks

A = $\begin{bmatrix}2 & -5 & 1\\-1 & 3 & 3\\5 & 4 & 8\\\end{bmatrix}$ ditranspose menjadi A^T = $\begin{bmatrix}2 & -1 & 5\\-5 & 3 & 4\\1 & 3 & 8\\\end{bmatrix}$

Matriks

B = $\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 & 7\\9 & 5 & 7 & 4\\4 & 1 & 5 & 3\\\end{bmatrix}$ ditranspose menjadi B^T = $\begin{bmatrix}1 & 9 & 4\\3 & 5 & 1\\5 & 7 & 5\\7 & 4 & 3\\\end{bmatrix}$

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

dan

dimana k adalah skalar

Ø Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal.

Contoh :

$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -5\\\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -5 & 0\\0 & 0 & 1\\\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\\end{bmatrix}$

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

$\begin{bmatrix}d_1 & 0 & \cdots & 0\\0 & d_2 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & & \vdots\\0 & 0 & \cdots & d_n\\\end{bmatrix}$

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :

$D^{-1}$ = $\begin{bmatrix}1/d_1 & 0 & \cdots & 0\\0 & 1/d_2 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & & \vdots\\0 & 0 & \cdots & 1/d_n\\\end{bmatrix}$

$DD^{-1}=D^{-1}D=I$

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

$D^{k}$ = $\begin{bmatrix}d_1^k & 0 & \cdots & 0\\0 & d_2^k & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & & \vdots\\0 & 0 & \cdots & d_n^k\\\end{bmatrix}$

Contoh :

A= $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -3 & 0\\0 & 0 & 2\\\end{bmatrix}$

maka

= $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -243 & 0\\0 & 0 & 32\\\end{bmatrix}$

Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

Matriks segitiga

$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\0 & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\0 & 0 & a_{33} & a_{34}\\0 & 0 & 0 & a_{44}\\\end{bmatrix}$

Matriks segitiga bawah

$\begin{bmatrix}a_{11} & 0 & 0 & 0\\a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\\end{bmatrix}$

Teorema

· Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.

· Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

· Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.

· Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas

Contoh :

Matriks segitiga yang bisa di invers

A =

$\begin{bmatrix}1 & 3 & -1\\0 & 2 & 4\\0 & 0 & 5\\\end{bmatrix}$

Inversnya adalah

$A^{-1}$ = $\begin{bmatrix}1 & -3/2 & 7/5\\0 & 1/2 & -2/5\\0 & 0 & 1/5\\\end{bmatrix}$

Matriks yang tidak bisa di invers

B = $\begin{bmatrix}3 & -2 & 2\\0 & 0 & -1\\0 & 0 & 1\\\end{bmatrix}$

Matriks Segitiga

Matriks kotak A disebut simetris jika

Contoh matriks simetris

$\begin{bmatrix}7 & -3 \\-3 & 5 \\\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & 4 & 5\\4 & -3 & 0\\5 & 0 & 7\\\end{bmatrix}$

Teorema

· Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah scalar

maka

adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah

simetris

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka $A^{-1}$ adalah matriks simetris.

Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa

maka :

$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1}$

Yang mana membuktikan bahwa $A^{-1}$ adalah simetris.

Produk

dan

Contoh

A adalah matriks 2 X 3

A = $\begin{bmatrix}1 & -2 & 4\\3 & 0 & -5\\\end{bmatrix}$

lalu

= $\begin{bmatrix}1 & 3 \\-2 & 0\\4 & -5 \\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1 & -2 & 4\\3 & 0 & -5\\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}10 & -2 & 11\\-2 & 4 & -8\\-11 & -8 & 41\\\end{bmatrix}$

= $\begin{bmatrix}1 & -2 & 4\\3 & 0 & -5\\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1 & 3 \\-2 & 0\\4 & -5 \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}21 & -17 \\-17 & 34\\\end{bmatrix}$

Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka

dan

juga bisa di inverse

APLIKASI

Operasi Baris Elementer (OBE) sendiri adalah operasi pengubahan nilai elemen matrik berdasarkan barisnya, tanpa mengubah matriknya. OBE pada baris ke-i+k dengan dasar baris ke-i dapat dituliskan dengan :

Dimana c : konstanta pengali dari perbandingan nilai dari elemen ai,i dan ai+k,i

Algoritma :
(1) Masukkan Matrik A dan H
(2) Hitung Matriks Segitiga Bawah
(3) Hitung solusi Matriks A dan H

Listring Program :
/* Contoh soal Metode Eliminasi Gauss untuk penyelesaian Persamaan Linier Serentak
(PLS). Metode Komputasi 2009 */
/* Nama Program : eliminasi_gauss.cpp */
/* Untuk penyelesaian Matriks n x n */
#include
#include
#include
void main()
{
int a=1, b=3, c=5, j=1,
d=2, e=7, f=16, k=4,
g=4, h=14, i=33, l=10;
float A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, A33, x1, x2, x3, H11, H21, H31;
cout << “\n\nMetode Eliminasi Gauss Matriks untuk PLS\n”;
cout << “========================================\n\n”;
/* Nilai Matriks A (3 x 3) dan H (3 x 1) */
/*********************************************************/
cout << “\nNilai Matriks A (3 x 3)\n”;
cout << “——————————————\n\n”;
cout<<”| 1 3 5 |\n\n”;
cout<<”| 2 7 16 |\n\n”;
cout<<”| 4 14 33 |\n\n”;
cout <<”\nNilai Matriks H (3 x 1)\n”;
cout << “——————————————\n\n”;
cout<<”| 1 |\n\n”;
cout<<”| 4 |\n\n”;
cout<<”| 10 |\n\n”;
cout <<”Tekan Enter untuk lanjutkan proses berikutnya ….\n”;
cout <<”(Matriks A dan H sebelum proses Eliminasi Gauss)\n\n”;
getch();

Lily-fanggidae

Selasa, 18 September 2012

TUGAS ALJABAR

Tidak ada komentar:

Posting Komentar